Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，CD=PD，∠ADP=90°，∠CDP=120°，E，F，G分别为PB，BBC，AP的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PCD；
（Ⅱ）若CD=PD=2，求三棱锥E-CDF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）运用条件证明AB∥CD，EF∥PC，EF∥平面PCD．平面EFG∥平面PCD．
（Ⅱ）根据几何体的性质得出：C到面ADP的距离为：2

3

×sin30°=

3

，E到面ADP的距离为

3

2

，运用体积公式即可．

解答： （Ⅰ）证明：因为E，G分别为BP．AP中点，
所以EG∥AB，
又因为ABCD是正方形，所以EG∥CD，所以EG∥平面PCD．
因为E，F分别为BP，BC中点，
所以EF∥PC，
所以EF∥平面PCD．
所以平面EFG∥平面PCD．
（Ⅱ）解：S_△CDF=

1

2

×2×1=1，
∵AD⊥DC，AD⊥DP，
∴AD⊥面PDC，
∴面PAD⊥面PDC，
∵CD=PD=2，∠ADP=90°，∠CDP=120°
∴PC=2

3

，
C到面ADP的距离为：2

3

×sin30°=

3

，
∵E，F，G分别为PB，BBC，AP的中点．
∴E到面ADP的距离为

3

2

，
∴V_E-CDF=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．

点评：本题考察了空间几何体中的直线平面的平行，垂直问题，求解体积问题，属于中档题．