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椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
2
3
,A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0),设AB的中点为C(x0,y0),则x0的值为(  )
A、
9
5
B、
9
4
C、
4
9
D、
5
9
分析:本题涉及到垂直平分线,与斜率和中点有关,所以先由A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点得到:
x12
a2
+
y12
b2
=1
x22
a2
+
y22
b2
=1
②两式作差得到斜率与中点的关系,再由线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0),转化斜率
y1-y2
x1-y1
= -
x0-1
y0
转化为:-
b2x0
a2y0
 = -
x0-1
y0
求解.
解答:解:∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点
x12
a2
+
y12
b2
=1
x22
a2
+
y22
b2
=1

由①-②得:
y1-y2
x1-y1
=-
b2(x1+x2)
a2(y1+y2)
=
b2x0
a2y0

∵线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0),
y1-y2
x1-y1
= -
x0-1
y0

-
b2x0
a2y0
 = -
x0-1
y0

解得:x0=
a2
c2
=
9
4

故选B.
点评:本题主要考查直线与椭圆的位置关系及方程的应用,这里主要涉及了线段的垂直平分线,用点差法寻求斜率与中点的关系的问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=
2
2
,右准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,求证:|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF1的中点,求证:∠ATM=∠AF1T.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的两点,O为坐标原点,向量
m
=(
x1
a
y1
b
),
n
=(
x2
a
y2
b
)
m
n
=0

(1)若A点坐标为(a,0),求点B的坐标;
(2)设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
,证明点M在椭圆上;
(3)若点P、Q为椭圆 上的两点,且
PQ
OB
,试问:线段PQ能否被直线OA平分?若能平分,请加以证明;若不能平分,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:四川 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=
2
2
,右准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
,求直线l的方程.

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