Question

11．等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，若a₅=10，S₅=30，则$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{2016}}$=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由a₅=10，S₅=30，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=10}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，解得a₁，d．可得S_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₅=10，S₅=30，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=10}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2．
∴S_n=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{2016}}$=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．