Question

已知函数f（x）=e^x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意a∈（-∞，0），函数f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（-∞，0），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,导数的综合应用

分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根

解答： 解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），
f′（x）=e^x+

a

x

，
①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e^x+

a

x

≥0，f（x）是增函数．故①不正确；
②∵a∈（-∞，0），∴存在x有f′（x）=e^x+

a

x

=0，可以判断函数有最小值，故②正确；
③画出函数y=e^x，y=alnx（a＞0）的图象，x可取（0，1）内的一个数f（x）＜0，故③不正确；
④函数y=e^x是增函数，a＜0时，y=alnx是减函数，所以存在a∈（-∞，0），由图可让a的绝对值较大，
f（x）=e^x+alnx=0有两个根，故④正确．
故选C．

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题，注意应用数形结合思想方法，是一道中档题．