Question

2．已知函数f（x）=Asin（2x+φ），x∈R，A＞0，φ∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（$\frac{π}{12}$）=f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求A，φ的值；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{6}{5}$，x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求sin（2x₀-$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：f（$\frac{π}{12}$）=f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，由正弦函数的对称性及φ的取值范围可知（$\frac{π}{6}$+φ）+（$\frac{π}{2}$+φ）=π，求得φ的值，代入f（$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$，即可求得A的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x₀）=2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，求得sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，根据x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，即≤2x₀+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，可知cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）＜0，根据同角三角函数的基本关系，cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）}$，利用两角差的正弦公式求得sin（2x₀-$\frac{π}{12}$）=sin[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]，即可求得sin（2x₀-$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（$\frac{π}{12}$）=f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，
∴Asin（$\frac{π}{6}$+φ）=Asin（$\frac{π}{2}$+φ）=$\sqrt{3}$，…（1分）
∵φ∈（0，$\frac{π}{2}$），…（2分）
∴（$\frac{π}{6}$+φ）+（$\frac{π}{2}$+φ）=π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，…（3分）
∴Asin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，…（5分）
∴A=2，
∴A=2，φ=$\frac{π}{6}$；   …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
f（x₀）=2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，
∴sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$…（7分）
x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{2π}{3}$≤2x₀+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，…（8分）
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）＜0，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{5}$，…（9分）
∴sin（2x₀-$\frac{π}{12}$）=sin[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴sin（2x₀-$\frac{π}{12}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．    …（12分）

点评 本题考查求正弦函数的解析式的方法，考查正弦函数图象及性质，同角三角函数基本关系，两角和差的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．