Question

12．已知数列{a_n}是等比数列，其前n项和S_n=3^n-1+k（n∈N^*），则常数k=$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 S_n=3^n-1+k（n∈N^*），n=1时，可得：a₁=S₁=1+k．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，利用数列{a_n}是等比数列，即可得出．

解答 解：S_n=3^n-1+k（n∈N^*），
n=1时，a₁=S₁=1+k．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1+k-（3^n-2+k）=2×3^n-2，
∵数列{a_n}是等比数列，
∴上式对于n=1时也成立，∴1+k=2×3^-1，
解得k=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．