Question

11．若圆C：（x+1）²+（y-2）²=8关于直线2ax+by+6=0对称，则由点M（a，b）向圆所作的切线长的最小值是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．

解答 解：若圆C：（x+1）²+（y-2）²=8的圆心坐标为（-1，2）半径为2$\sqrt{2}$．
圆C：（x+1）²+（y-2）²=8关于直线2ax+by+6=0对称，所以（-1，2）在直线上，可得-2a+2b+6=0，
即a=b+3．
所以点（a，b）向圆C所作切线长：$\sqrt{（a+1）^{2}+（b-2）^{2}-8}$=$\sqrt{2（a-2）^{2}+10}$≥$\sqrt{10}$
当且仅当a=2时弦长最小，为$\sqrt{10}$．
故答案为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力．