Question

16．

商品名称	A	B	C	D	E
销售额x（千万元）	3	5	6	7	9
利润额y（百万元）	2	3	3	4	5

（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性．
（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．参考公式：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知条件作出散点图，观察散点图得两个变量有线性相关．
（2）设回归直线的方程是：$\widehat{y}$=bx+a，分别求出$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，由此能求出利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）由利润额y对销售额x的回归直线方程，能求出当销售额为4千万元时的利润额．

解答 解：（1）由已知条件作出散点图，如下：

观察散点图得两个变量有线性相关．
（2）设回归直线的方程是：$\widehat{y}$=bx+a，
∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+5+6+7+9）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2+3+3+4+5）=3.4，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$
=$\frac{-3×（-1.4）+（-1）×（-0.4）+1×0.6+3×1.6}{9+1+1+9}$
=$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=3.4-$\frac{1}{2}×6$=0.4．
∴利润额y对销售额x的回归直线方程为：y=0.5x+0.4．
（2）当销售额为4千万元时，利润额为：
$\widehat{y}$=0.5×4+0.4=2.4（百万元）．

点评 本题考查散点图的作法，考查线性回归方程的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意回归方程性质的合理运用．