Question

5．如图，已知$\overrightarrow{OP}$=（2，1），$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），设Z是直线OP上的一动点．
（1）求使$\overrightarrow{ZA}$•$\overrightarrow{ZB}$取最小值时的$\overrightarrow{OZ}$；
（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量共线的坐标表示，求得向量ZA，ZB的坐标，由数量积的标准表示，结合二次函数的最值求法，可得最小值，及向量OZ；
（2）求得t=2的向量ZA，ZB，以及模的大小，由向量的夹角公式，计算即可得到．

解答 解：（1）∵Z是直线OP上的一点，
∴$\overrightarrow{OZ}$∥$\overrightarrow{OP}$，
设实数t，使$\overrightarrow{OZ}$=t$\overrightarrow{OP}$，
∴$\overrightarrow{OZ}$=t（2，1）=（2t，t），
则$\overrightarrow{ZA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OZ}$=（1，7）-（2t，t）=（1-2t，7-t），
$\overrightarrow{ZB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OZ}$=（5，1）-（2t，t）=（5-2t，1-t）．
∴$\overrightarrow{ZA}$•$\overrightarrow{ZB}$=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1-t）
=5t²-20t+12=5（t-2）²-8．
当t=2时，$\overrightarrow{ZA}$•$\overrightarrow{ZB}$有最小值-8，
此时$\overrightarrow{OZ}$=（2t，t）=（4，2）．
（2）当t=2时，$\overrightarrow{ZA}$=（1-2t，7-t）=（-3，5），|$\overrightarrow{ZA}$|=$\sqrt{34}$，
$\overrightarrow{ZB}$=（5-2t，1-t）=（1，-1），|$\overrightarrow{ZB}$|=$\sqrt{2}$．
故cos∠AZB═$\frac{\overrightarrow{ZA}•\overrightarrow{ZB}}{|\overrightarrow{ZA}|•|\overrightarrow{ZB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}×\sqrt{2}}$
=-$\frac{4}{\sqrt{17}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量共线的坐标运算，以及向量夹角公式，考查运算能力，属于中档题．