Question

15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log₈x）＞0的解集是（0，$\frac{1}{64}$）∪（64，+∞）．

Answer 1

分析 由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的对称性可将不等式f（log₈x）＞0，可化为f（|lo₈x|）＞f（2），解此不等式即可得到所求的解集．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log₈x）＞0，等价为：f（|log₈x|）＞f（2），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|log₈x|＞2，∴log₈x＞2或log₈x＜-2，
∴x＞64或0＜x＜$\frac{1}{64}$．
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜$\frac{1}{64}$}
故答案为：（0，$\frac{1}{64}$）∪（64，+∞）

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．