Question

（本小题满分13分）
已知函数，其中为常数，且。
（I）                   当时，求在（ ）上的值域；
（II）                 若对任意恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）当时，                                                                      
得                                                                            ………………2分
令，即，解得，所以函数在上为增函数，
据此，函数在上为增函数，                                           ………………4分
而，，所以函数在上的值域为
………………6分
（Ⅱ）由令，得即
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；   ……………7分
若，即，易得函数在上为增函数，
此时，，要使对恒成立，只需即可，
所以有，即
而，即，所以此时无解.
………………8分
若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，
要使对恒成立，只需，即，
由和
得.                                                                   ………………10分
若，即，易得函数在上为减函数，
此时，，要使对恒成立，只需即可，
所以有，即，又因为，所以.       ……………12分
  综合上述，实数a的取值范围是.                                              ……………13分