Question

7．就实数a的取值范围，讨论关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴的交点个数．

Answer 1

分析 利用倍角公式化余弦为正弦，令t=sinx换元后化为关于t的一元二次函数，结合一元二次方程根的分别分类讨论得答案．

解答 解：y=cos2x+2sinx+2a-3=-2sin²x+2sinx+2a-2，
令t=sinx（-1≤t≤1），
则函数化为f（t）=-2t²+2t+2a-2．
对称轴方程为t=$\frac{1}{2}$．
若△=4+8（2a-2）＜0，即a$＜\frac{3}{4}$，
函数f（t）无零点，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴无交点；
若△=4+8（2a-2）=0，即a=$\frac{3}{4}$，
函数f（t）=$-2{t}^{2}+2t-\frac{1}{2}$，零点为$\frac{1}{2}$．
由sinx=$\frac{1}{2}$，可得x=$\frac{π}{6}$，或x=$\frac{5π}{6}$，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；
若△=4+8（2a-2）＞0，且f（0）=2a-2＜0，即$\frac{3}{4}$＜a＜1，
函数f（t）有两个大于0小于1的零点，即sinx有两个不等正根，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有四个交点；
若△=4+8（2a-2）＞0，且f（0）=2a-2=0，即a=1，函数f（t）的两个零点为0，1．
由sinx=0，sinx=1，可得关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有三个交点；
若f（0）=2a-2＞0，且f（-1）=2a-6＜0，即1＜a＜3，f（t）有一零点为负数，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；
若f（-1）=0，即a=3，f（t）有一零点-1，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有一个交点；
若f（-1）＞0，即a＞3，f（t）在[-1，1]内无零点，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴无交点．
综上，当a＜$\frac{3}{4}$或a＞3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴无交点；
当a=3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有一个交点；
当a=$\frac{3}{4}$或1＜a＜3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；
当a=1时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有三个交点；
当$\frac{3}{4}$＜a＜1时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有四个交点．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查分类讨论的数学思想方法，训练了一元二次方程根的分别及其应用，是中档题．