Question

12．已知函数f（x）=-x³+3x²+a．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，令导函数小于零，求出x的范围即可；、
（2）求出导函数，根据导函数得出函数的单调性，进而判断函数的最值．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+6x．
令f′（x）＜0，解得x＜0，或x＞2，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．
（2）∵f（-2）=8+12+a=20+a，
f（2）=-8+12+a=4+a，
∴f（-2）＞f（2）．
∵在（0，2）上f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2]上单调递增．
又由于f（x）在[-2，0]上单调递减，因此f（0）是f（x）在区间[-2，2]上的最小值，
∵f（-2）=20+a=20，
∴a=0，
∴f（x）=-x³+3x²
∴f（0）═0，即函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为0．

点评 本题考查了导函数的应用，属于基础题型，应熟练掌握．