Question

1．数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，前n项和S_n=n²a_n，求a_n=（　　）

• A． $\frac{1}{n（n-1）}$
• B． $\frac{1}{n（n+1）}$
• C． $\frac{2}{{{{（n+1）}^2}}}$
• D． $\frac{3}{（n+1）（n+2）}$

Answer 1

分析 由a_n=S_n-S_n-1可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，使用累乘法即可得出a_n．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴S_n-1=（n-1）²a_n-1，（n≥2）
两式相减得：a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
∴（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，即（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$•…$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$a₁=$\frac{1}{n（n+1）}$．
当n=1时，上式也成立．
故a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法，属于中档题．