Question

13．已知函数f（x）=-x+xlnx
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若y=f（x）-m-1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间．
（2）y=f（x）-m-1在（0，+∞）内有两个不同的零点，可转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，可转化为y=f（x）与y=m+1图象上有两个不同的交点，画出函数的图图象，判断求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；
∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）
（2）y=f（x）-m-1在（0，+∞）内有两个不同的零点，
可转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，
也可转化为y=f（x）与y=m+1图象上有两个不同的交点，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
f（x）_min=f（1）=-1，
由题意得，m+1＞-1即m＞-2①，
由图象可知，m+1＜0，即m＜-1②，
由①②可得-2＜m＜-1．

点评 本题函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的图象，考查数形结合以及转化思想的应用．