Question

18．设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₃=3a₃+2a₂，a₄=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=log₂a_n，数列{bn}的前n项和为T_n，求使得T_n取最大值的正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出数列的公比，然后求解通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}≥0}\\{{b}_{n+1}≤0}\end{array}\right.$，求解数列的最大项，即可得到结果．（法二利用二次函数的性质求解）．

解答 解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
由已知的S₃=3a₃+2a₂有2a₃+a₂-a₁=0，即2a₁q²+a₁q-a₁=0，又a₁＞0，
∴2q²+q-1=0，故q=$\frac{1}{2}$或q=-1（舍），…（4分）
∴a_n=a₄q^n-4=（$\frac{1}{2}$）^n-7，…6  分
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=7-n，设T_n为其最大项，则有：
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}≥0}\\{{b}_{n+1}≤0}\end{array}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{7-n≥0}\\{6-n≤0}\end{array}}\right.$，得6≤n≤7，故当n=6或7时，T_n达到最大．…（10分）
（法2）${T_n}=\frac{n（13-n）}{2}=-\frac{1}{2}[{（n-\frac{13}{2}）^2}+\frac{169}{4}]$，亦可给分．

点评 本题考查数列的应用，等比数列以及数列的函数的特征，考查分析问题解决问题的能力．