Question

10．（ I）设复数z和它的共轭复数$\overline z$满足$4z+2\overline z=3\sqrt{3}+i$，求复数z．
（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z-2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出复数z=x+yi，根据$4z+2\overline z=3\sqrt{3}+i$，求出x，y的值，求出z即可；（Ⅱ）设复数z=x+yi，得到关于x，y的方程，整理判断即可．

解答 解：（ I）设$z=x+yi，则4z+2\overline z=6x+2yi$，
由$4Z+2\overline Z=3\sqrt{3}+i$可得$6x+2yi=3\sqrt{3}+i$，
所以$x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，y=\frac{1}{2}$，
∴$z=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}i$；
（ II）设复数z=x+yi，
由|Z+2|+|Z-2|=8，
得$\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}=8$，
其轨迹是椭圆，
方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

点评 本题考查了复数的运算以及共轭复数问题，考查圆的方程，是一道中档题．