Question

16．如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求B的大小；
（2）若点D是劣弧$\widehat{AC}$上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简即可．
（2）在△ABC，利用余弦定理求出AC，已知B，可得∠ADC，再余弦定理求出DC，即可△ABC和△ADC面积，可得四边形ABCD的面积．

解答 解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB．
由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB．
得sinB=2sinBcosB．
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
即B=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABC中，AB=3，BC=2，B=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理，cos$\frac{π}{3}$=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}=\frac{9+4-A{C}^{2}}{12}$，
可得：AC=$\sqrt{7}$．
在△ADC中，AC=$\sqrt{7}$，AD=1，ABCD在圆上，
∵B=$\frac{π}{3}$．
∴∠ADC=$\frac{2π}{3}$．
由余弦定理，cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{A{D}^{2}+D{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AD•DC}$=$\frac{1+D{C}^{2}-7}{2DC}$．
解得：DC=2
四边形ABCD的面积S=S_△ABC+S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin$\frac{2π}{3}$+$\frac{1}{2}$AB•BC•sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的面积的求法，正弦余弦定理的合理运用．圆内角四边形的角的关系．属于中档题．