Question

19．四次多项式f（x）的四个实根构成公差为2的等差数列，则f′（x）的所有根中最大根与最小根之差是（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 不妨设4个根为-3，-1，1，3．可得f（x）=a（x-1）（x+1）（x+3）（x-3）=a（x⁴-10x²+9），（a≠0）．由f'（x）=a（4x³-20x）=4ax（x²-5）=0，解得x即可得出．

解答 解：不妨设4个根为-3，-1，1，3．
f（x）=a（x-1）（x+1）（x+3）（x-3）=a（x²-1）（x²-9）=a（x⁴-10x²+9），（a≠0）．
f'（x）=0的三个根分别在（-3，-1），（-1，1），（1，3）内，
由f'（x）=a（4x³-20x）=4ax（x²-5）=0，
解得x=-$\sqrt{5}$，0，$\sqrt{5}$，
最大根为：$\sqrt{5}$，最小根为：-$\sqrt{5}$，
∴两者差为：2$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．