Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d．当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，求点P的轨迹C．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点P的坐标为（x，y），则 d = 4

( x - 3 )2 + y2

 + 3|x-2|．由题设，d=18+x，即4

( x-3 )2+y2

+3 | x - 2 | = 18+ x，化简即可得出结论．

解答： 解：设点P的坐标为（x，y），则 d = 4

( x - 3 )2 + y2

 + 3|x-2|．
由题设，d=18+x，即4

( x-3 )2+y2

+3 | x - 2 | = 18+ x．…①
当x＞2时，由①得

( x-3 )2+y2

=6-

1

2

x，化简得

x2

36

+

y2

27

=1．…②
当x≤2时，由①得

( x-3 )2+y2

=3+x，…③化简得 y²=12x．
故点P的轨迹C是由椭圆C₁：

x2

36

+

y2

27

=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C₂：y²=12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1．

点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．