Question

已知函数f（x）=

lgx，x＞0 -lg(-x)，x＜0

，g（x）=（

1

2

） ax2+bx（a≠0）．若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有两个公共点，坐标从左至右记为（x₁，y₁），（x₂，y₂），给出下列命题正确的是（　　）

• A、若a＞0，则x₁+x₂＜0，y₁-y₂＞0
• B、若a＜0，则x₁+x₂＞0，y₁-y₂＞0
• C、若a＜0，则x₁+x₂＜0，y₁-y₂符号无法确定
• D、若a＜0，则x₁+x₂＞0，y₁-y₂符号无法确定

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：

分析：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及f（x）的对称性，即可得到结论．

解答： 解：作出函数f（x）的图象如图（红色曲线），
若a＞0，二次函数y=ax²+bx先单调递减后单调递增，
则g（x）先单调递减，后单调递增，此时函数f（x）与g（x）的图象在x＞0时不一定有交点，故此时无法判断．
若a＜0，二次函数y=ax²+bx先单调递减，后单调递增则g（x）先单调递减后单调递增，
函数f（x）与g（x）的图象有且仅有两个公共点，有且仅有两个公共点A，B，
∵f（x）是奇函数，∴B（x₂，y₂），
关于原点对称的点C（-x₂，-y₂）在函数f（x）的图象上，
由图象可知A（x₁，y₁）高于C（-x₂，-y₂）点，
∴-x₂＜x₁，-y₂＜y₁，
即x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0，而y₁-y₂符号无法确定，
故选：D．

点评：本题主要考查函数和方程的应用，利用奇函数的对称性，以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．