Question

7．数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），设S_n为{b_n}的前n项和，若${a_{12}}=\frac{5}{8}{a_5}＞0$，则当S_n取得最大值时n的值为（　　）

• A． 21
• B． 22
• C． 23
• D． 24

Answer 1

分析 根据等差数列的通项公式，以及数列的递推关系，即可得到结论．

解答 解：设{a_n}的公差为d，由a₁₂=$\frac{5}{8}$a₅＞0得 a₁=-$\frac{68}{3}$d，a₁₂＜a₅，
即d＜0，
所以a_n=（n-$\frac{71}{3}$）d，
从而可知1≤n≤23时，a_n＞0，n≥24时，a_n＜0．
从而b₁＞b₂＞…＞b₂₁＞0＞b₂₄＞b₂₅＞…，b₂₅=a₂₅a₂₆a₂₇＜0，b₂₆=a₂₆a₂₇a₂₈＞0，
故S₂₁＞S₂₀＞…＞S₁，S₂₁＞S₂₂，S₂₂＜S₂₃．
因为a₂₂=-$\frac{5}{3}$d＞0，a₂₅=$\frac{4}{3}$d＜0，
所以a₂₂+a₂₅=-$\frac{5}{3}$d+$\frac{4}{3}$d=-$\frac{2}{3}$d＞0，
所以b₂₂+b₂₃=a₂₃a₂₄（a₂₂+a₂₅）＞0，
所以S₂₁＞S₂₃，故S_n中S₂₁最大．
故选：A

点评 本题主要考查利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前n项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．