Question

9．设函数f（x）=3ax²-2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）
（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c²-2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；
（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？

Answer 1

分析 （1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=$\frac{a+c}{3a}$，由条件可得：2a＞a+c，所以x=$\frac{a+c}{3a}$＜$\frac{2a}{3a}$＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．
（2）二次函数的对称轴是x=$\frac{a+c}{3a}$，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（$\frac{a+c}{3a}$）=-$\frac{（a-c）^{2}+ac}{3a}$＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．

解答 解：（1）因为二次函数f（x）=3ax²-2（a+c）x+c的图象的对称轴x=$\frac{a+c}{3a}$，
因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以x=$\frac{a+c}{3a}$＜$\frac{2a}{3a}$＜1，
所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，
所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．
所以f（x）_min=f（1）=a-c，
因为f（x）＞c²-2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，
所以a-c＞c²-2c+a，
所以0＜c＜1；
（2）二次函数f（x）=3ax²-2（a+c）x+c图象的对称轴是x=$\frac{a+c}{3a}$．
若f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（$\frac{a+c}{3a}$）=-$\frac{（a-c）^{2}+ac}{3a}$＜0，
所以函数f（x）在区间（0，$\frac{a+c}{3a}$）和（$\frac{a+c}{3a}$，1）内分别有一零点．
故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；
若f（0）=c＜0，f（1）=a-c＞0，而f（$\frac{a+c}{3a}$）=-$\frac{（a-c）^{2}+ac}{3a}$＜0，
故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．