Question

（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
（Ⅰ）判定AE与PD是否垂直，并说明理由
（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）垂直.证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，所以．
（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．
由（Ⅰ）知平面，则为与平面所成的角．
在中，，所以当最短时，最大，
即当时，最大．
此时，
因此．又，所以，                             高#考#资#源#
所以．　
解法一：因为平面，平面，
所以平面平面．过作于，则平面，
过作于，连接，则为二面角的平面角，
在中，，，
又是的中点，在中，，
又，在中，，
即所求二面角的余弦值为．
解法二：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，
∴，
，
所以．
设平面的一法向量为，则   
因此取，则，
因为，，，
所以平面，故为平面的一法向量．
又，所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．

略