Question

6．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交双曲线的右支于C，D两点，与双曲线的渐近线交于点P，点C和点P在第-象限，点D在第四象限，若|PC|=|CD|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 将x=c分别代入双曲线的渐近线方程和双曲线的方程，可得|PC|，|CD|，由条件可得c=3b，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由F（c，0），令x=c代入双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
将x=c代入渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，可得y=$\frac{bc}{a}$，
由|PC|=|CD|，可得$\frac{bc}{a}$-$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
即为c=3b，即有a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{c}^{2}}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．