Question

3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{b}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{C}{2}}$，则此三角形的形状为等边三角形．

Answer 1

分析 $\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{b}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{C}{2}}$，由正弦定理可得：$\frac{sinA}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{sinB}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sinC}{cos\frac{C}{2}}$，再利用倍角公式可得；$sin\frac{A}{2}$=$sin\frac{B}{2}$=$sin\frac{C}{2}$．再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{b}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{C}{2}}$，由正弦定理可得：$\frac{sinA}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{sinB}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sinC}{cos\frac{C}{2}}$，∴$sin\frac{A}{2}$=$sin\frac{B}{2}$=$sin\frac{C}{2}$．
∵$\frac{A}{2}$，$\frac{B}{2}$，$\frac{C}{2}$∈$（0，\frac{π}{2}）$，
∴$\frac{A}{2}=\frac{B}{2}=\frac{C}{2}$，即A=B=C．
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．