Question

1．若两个正实数x，y满足$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，且x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）∪[4，+∞）
• B． （-∞，-4）∪[2，+∞）
• C． （-2，4）
• D． （-4，2）

Answer 1

分析 由题意和基本不等式可得x+2y的最小值，再由恒成立可得m的不等式，解不等式可得m范围．

解答 解：∵正实数x，y满足$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）
=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{1}{y}}$=8，
当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=4且y=2时x+2y取最小值8，
∵x+2y＞m²+2m恒成立，∴8＞m²+2m，
解关于m的不等式可得-4＜m＜2
故选：D

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．