Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）圆的切线与椭圆相交于、两点，证明：为钝角．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用椭圆定义求出的值，可得出的值，再结合焦点的坐标可得出的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）分直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，得出直线的方程为，求出点、的坐标，并验证；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切得出，再将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的运算律得出，由此可证明出为钝角.

（1）设椭圆的左焦点为，则，

由椭圆的定义可得，，

，因此，椭圆的方程为；

（2）①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为.

若直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得，

则点、，，，此时，；

当直线的方程为，同理可得出；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，

由于直线与圆相切，则，可得.

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得，

，

由韦达定理得，.

.

综上所述，为钝角.