Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于，两点，设为椭圆上一动点，且满足（为坐标原点）.当时，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

（1）根据所给离心率及四边形面积，结合椭圆中，解方程组即可确定的值，进而得椭圆的方程；

（2）设，将直线方程与椭圆方程联立，由判别式可确定的范围；由韦达定理可表示出，将代入直线方程可表示出.由平面向量的坐标运算，表示出点的坐标，代入椭圆方程即可建立与的关系式，由进一步确定的取值范围即可.

（1）椭圆的离心率为，则，

以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则，

再有，

联立上述等式可得，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）直线与椭圆相交于，两点，设，

则联立直线与椭圆方程，化简可得，

则，

可知，

解得或；

而

所以，

因为，

所以 ，代入可得

因为点P在椭圆上，

代入可得，化简可得，

因为，

所以，化简可得，

所以，即，

又因为或；

所以