Question

【题目】已知函数f(x)＝ln.

(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；

(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln＞ln恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (－∞，－1)∪(1，＋∞)，奇函数．(2) 0＜m＜7.

【解析】

(1)解不等式＞0，即得函数的定义域.再利用奇偶函数的判定方法判断函数的奇偶性.（2）转化成以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．再求出函数的最小值得解.

(1)由＞0，解得x＜－1或x＞1，

所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，

f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，

所以f(x)＝ln是奇函数．

(2)由于x∈[2，6]时，

f(x)＝ln＞ln恒成立，

所以＞＞0，

因为x∈[2，6]，所以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．

令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，

由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，

即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，

所以0＜m＜7.