【题目】已知圆C的圆心C在直线上,且与x轴正半轴相切,点C与坐标原点O的距离为
.
(1)求圆C的标准方程;
(2)直线l过点 且与圆C相交于A,B两点,求弦长
的最小值及此时直线l的方程.
【答案】(1);(2)
,
.
【解析】
(1)结合直线的方程设出圆心坐标以及半径,根据两点间距离公式以及题设条件,即可得出圆C的标准方程;
(2)当直线的斜率不存在时,得出直线
的方程,根据方程得出
,当直线l的斜率存在时,设出直线
的方程,利用点到直线的距离公式以及弦长公式得出
,进而得出弦长
的最小值以及直线
的方程.
(1)由题可设圆心,半径r
∵.
又∵圆C与x轴正半轴相切
∴圆C的标准方程:
(2)①当直线l的斜率不存在时,
直线l的方程为x=1,此时弦长
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程:
点C到直线l的距离,则弦长
当k=0时,弦长取最小值
此时直线l的方程为.
由①②知当直线l的方程为时,弦长
取最小值为
.
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【题目】已知数列满足
,
,
.
(1)若,试问是否存在实数
,使得数列
是等比数列?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,求数列的通项公式.
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【题目】已知函数的部分图像如图所示,若
,
,
分别为最高点与最低点,
为图象与
轴交点,且
的面积为
.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若将的图像向左平移
个单位长度,得到函数
的图像,求函数
在区间
上的最大值和最小值.
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【题目】如图有一景区的平面图是一半圆形,其中直径长为两点在半圆弧上满足
,设
,现要在景区内铺设一条观光通道,由
和
组成.
(1)用表示观光通道的长
,并求观光通道
的最大值;
(2)现要在景区内绿化,其中在中种植鲜花,在
中种植果树,在扇形
内种植草坪,已知单位面积内种植鲜花和种植果树的利润均是种植草坪利润的
倍,则当
为何值时总利润最大?
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若为偶函数,求
的值并写出
的增区间;
(Ⅱ)若关于的不等式
的解集为
,当
时,求
的最小值;
(Ⅲ)对任意的,
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,地图上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为C,与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点,且PG=50m.在观测点正前方10m处(即PD=10m)有一个高位10m(即ED=10m)的广告牌遮住了视线,因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.
(1)若圆形标志物半径为25m,以PG所在直线为X轴,G为坐标原点,建立直角坐标系,求圆C和直线PF的方程;
(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即)的正切值为
,求该圆形标志物的半径.
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