Question

【题目】已知函数．

（1）求在点处的切线方程；

（2）求证：在上仅有个零点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出和，然后利用点斜式写出所求切线的方程；

（2）利用当时，来说明函数在上没有零点，并利用函数的单调性和零点存在定理证明出函数在区间上有且只有一个零点，并结合，可证明出函数在区间上有两个零点.

（1），则，，.

因此，函数在点处的切线方程为，即；

（2）当时，，此时，，所以，函数在区间上没有零点；

又，下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点.

，构造函数，则，

当时，，

所以，函数在区间上单调递增，

，，由零点存在定理知，存在，使得，且当时，，当时，.

所以，函数在处取得极小值，则，

又，所以，由零点存在定理可知，函数在区间上有且只有一个零点.

综上所述，函数在区间上有且仅有两个零点.