【题目】已知函数.
(1)求在点
处的切线方程;
(2)求证:在
上仅有
个零点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)求出和
,然后利用点斜式写出所求切线的方程;
(2)利用当时,
来说明函数
在
上没有零点,并利用函数
的单调性和零点存在定理证明出函数
在区间
上有且只有一个零点,并结合
,可证明出函数
在区间
上有两个零点.
(1),则
,
,
.
因此,函数在点
处的切线方程为
,即
;
(2)当时,
,此时,
,所以,函数
在区间
上没有零点;
又,下面只需证明函数
在区间
上有且只有一个零点.
,构造函数
,则
,
当时,
,
所以,函数在区间
上单调递增,
,
,由零点存在定理知,存在
,使得
,且当
时,
,当
时,
.
所以,函数在
处取得极小值,则
,
又,所以
,由零点存在定理可知,函数
在区间
上有且只有一个零点.
综上所述,函数在区间
上有且仅有两个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解,在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币,其中有一假币(质量较轻),把两枚硬币放在天平的两端,若天平平衡,则剩余一枚为假币,若天平不平衡,较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币,其中有一枚是假币(质量较轻),如果只有一台天平,则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为( )
A.2B.3C.4D.5
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆C的圆心C在直线上,且与x轴正半轴相切,点C与坐标原点O的距离为
.
(1)求圆C的标准方程;
(2)直线l过点 且与圆C相交于A,B两点,求弦长
的最小值及此时直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设某工厂生产的一种产品的一项质量指标值服从正态分布
,若一件产品的质量指标值
介于90到120之间时,称该产品为优质品.
(1)计算该工厂生产的这种产品的优质品率.
(2)某用户从该工厂购买了100件这种产品,记表示这100件产品中优质品的件数,求随机变量
的数学期望
.
(3)必须从这工厂中购买多少件产品,才能使其中至少有1件产品是优质品的概率大于0.9?
①参考数据:若随机变量),则
,
,
.
②计算时,所有的小数都精确到小数点后4位,例如:.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年6月13日,三届奥运亚军,羽坛传奇,马来西亚名将李宗伟宣布退役,当天有大量网友关注此事件,某网上论坛从关注此事件跟帖中,随机抽取了100名网友进行调查统计,先分别统计他们在跟帖中的留言条数,再把网友人数按留言条数分成6组;,得到如下图所小的频率分布直方图;并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”,否则为“一般关注”,对这100名网友进一步统计,得到部分数据如下的列联表.
(1)在答题卡上补全2×2列联表中数据,并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关?
(2)该论坛欲在上述“强烈关注”的网友中按性别进行分层抽样,共抽取5人,并在此5人中随机抽取两名接受访谈,记女性访谈者的人数为占,求5的分布列与数学期望.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式与数据:,其中
.
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【题目】如图,一个正和一个平行四边形ABDE在同一个平面内,其中
,
,AB,DE的中点分别为F,G.现沿直线AB将
翻折成
,使二面角
为
,设CE中点为H.
(1)(i)求证:平面平面AGH;
(ii)求异面直线AB与CE所成角的正切值;
(2)求二面角的余弦值.
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