Question

5．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上的点$M（2，\sqrt{2}）$到两焦点的距离之和等于$4\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）经过椭圆G右焦点F的直线m（不经过点M）与椭圆交于A，B两点，与直线l：x=4相交于C点，记直线MA，MB，MC的斜率分别为k₁，k₂，k₃．求证：$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{k_3}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆定义知：$2a=4\sqrt{2}$，即$a=2\sqrt{2}$，将点$M（2，\sqrt{2}）$的坐标代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，求出b的值，则椭圆G的方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知右焦点F（2，0），由题意，直线m有斜率，设方程为y=k（x-2），令x=4，得点C（4，2k），即可求出k₃的斜率，联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得到：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，由△＞0，设A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂），再由根与系数的关系得到x₁+x₂和x₁•x₂，则k₁+k₂可求，进一步得到要证明的结论．

解答 （Ⅰ）解：由椭圆定义知：$2a=4\sqrt{2}$，∴$a=2\sqrt{2}$．
∴椭圆$G：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{b^2}=1$，将点$M（2，\sqrt{2}）$的坐标代入得b²=4．
∴椭圆G的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）证明：右焦点F（2，0），
由题意，直线m有斜率，设方程为y=k（x-2），
令x=4，得点C（4，2k），∴${k_3}={k_{MC}}=k-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；  
又由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$消元得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
显然△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{{8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.$，
∴${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-2}}+\frac{{{y_2}-\sqrt{2}}}{{{x_2}-2}}=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}+\frac{y_2}{{{x_2}-2}}-\sqrt{2}（\frac{1}{{{x_1}-2}}+\frac{1}{{{x_2}-2}}）$
=$2k-\sqrt{2}×\frac{{{x_1}+{x_2}-4}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}$=$2k-\sqrt{2}×\frac{{{x_1}+{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4}}$
=$2k-\sqrt{2}×\frac{{8{k^2}-4（1+2{k^2}）}}{{8{k^2}-8-16{k^2}+4+8{k^2}}}$=$2k-\sqrt{2}×\frac{-4}{-4}=2k-\sqrt{2}$．
∴k₁+k₂=2k₃，即$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{k_3}=2$为定值．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，是中档题．