Question

6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若关于x的方程（b-a）x²+（a-c）x+（c-b）=0，有两个相等实根，则角B的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
• B． [$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{6}$]
• D． （0，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 利用判别式等于0，可得a+c=2b，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出角B的取值范围．

解答 解：∵方程（b-a）x²+（a-c）x+（c-b）=0，有两个相等实根，
∴△=（a-c）²-4（b-a）（c-b）=0，
∴（a+c）²-4b（a+c）+4b²=0
∴（a+c-2b）²=0
∴a+c=2b，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{4}（a+c）^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{4}•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{2}$，
∴B是△ABC的内角，
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查余弦定理，基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．