Question

已知等差数列{a_n}的公差不为0，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为B_n，公比为q，且q≠-1，求

lim

n→∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)的值．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：等差数列与等比数列

分析：先求得

lim

n→∞

Sn

an

=

1

2

，再分q=1、q≠±1两种情况，分别求得

lim

n→∞

Bn

bn

 的值，综合可得

lim

n→∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)的值．

解答： 解：

Sn

an

=

n(a1+an) 2

nan

=

a1+an

2an

=

2a1+(n-1)d

2a1+2(n-1)d

，∴

lim

n→∞

Sn

an

=

1

2

．
若q=1时

Bn

bn

=

na1

a1

=n，

lim

n→∞

Bn

bn

=

na1

a1

=n，

lim

n→∞

Bn

bn

 不存在．
若q≠±1时

Bn

bn

=

b1(1-qn) 1-q

b1qn-1

=

1-qn

qn-1-qn

→

无意义 |q|＜1 q q-1 |q|＞1

(n→∞)，
故当|q|＞1时，

lim

n→∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)=

1

2

+

q

q-1

，其他情形极限无意义．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的前n项和公式，求数列的极限，属于基础题．