Question

19．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=4，则此三棱柱外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{13}{3}π$
• B． $\frac{16}{3}π$
• C． $\frac{42}{3}π$
• D． $\frac{64}{3}π$

Answer 1

分析 由题意推出三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答 解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为2，高为4，
由题意可得：三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr²．
球心到底面的距离为2，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以球的半径为r=$\sqrt{4+\frac{4}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
外接球的表面积为：4πr²=$\frac{64}{3}$π
故选：D．

点评 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．