Question

10．设函数D（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}}$，有下列四个结论：
①D（x）的值域为{0，1}；②D（x）是偶函数；③D（x）不是周期函数；④D（x）不是单调函数；其中正确的是①②④（填序号）

Answer 1

分析 由函数D（x）可得：①D（x）的值域为{0，1}，即可判断出正误；
②?x∈Q，则-x∈Q，可得D（-x）=D（x）=1；当x∈∁_RQ时同理可得D（-x）=D（x）=0，即可判断出函数的奇偶性；
③?a∈Q，且a≠0，则当x∈Q时，x+a∈Q，可得D（x+a）=D（x）=1；当x∈∁_RQ时，同理可得D（x+a）=D（x）=0，即可判断出周期性；
④由③可知：D（x）不是单调函数，即可判断出正误．

解答 解：由函数D（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}}$，可得：
①D（x）的值域为{0，1}，因此①正确；
②?x∈Q，则-x∈Q，∴D（-x）=D（x）=1；当x∈∁_RQ时，-x∈∁_RQ，∴D（-x）=D（x）=0，因此D（x）是偶函数，因此正确；
③?a∈Q，且a≠0，则当x∈Q时，x+a∈Q，∴D（x+a）=D（x）=1；当x∈∁_RQ时，x+a∈∈∁_RQ，∴D（x+a）=D（x）=0，因此D（x）是周期函数，任意非0有理数都是它的周期，因此③不正确．
④由③可知：D（x）不是单调函数，正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了函数D（x）的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．