Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$）．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a²+b²=6abcosC，sin²C=2sinAsinB，求f（2C）的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f（x）=$sin（x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）由sin²C=2sin Asin B，利用正弦定理可得c²=2ab；由a²+b²=6abcos C，利用余弦定理可得cos C=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1
=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$-$co{s}^{2}\frac{x}{2}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$-$\frac{1+cosx}{2}$+1
=$sin（x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．
由$2kπ+\frac{π}{2}$$≤x-\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$，解得$2kπ+\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ$+\frac{5π}{3}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为[$2kπ+\frac{2π}{3}$，2kπ$+\frac{5π}{3}$]，（k∈Z）．
（2）由sin²C=2sin Asin B，∴c²=2ab，
由a²+b²=6abcos C，
∴cos C=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{6abcosC-2ab}{2ab}$=3cos C-1，
即cos C=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴f（2C）=$f（\frac{2π}{3}）$=$sin（\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．