Question

1．下列几何体各顶点都在同一球面上，求此球表面积．
（1）直三棱柱，所有棱长都是a；
（2）所有棱长都是$\sqrt{2}$的四面体；
（3）直三棱柱，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=120°．

Answer 1

分析 分别求出球的半径，再利用球表面积公式，即可求出球表面积．

解答 解：设球的半径为R，则
（1）球心到底面的距离为$\frac{a}{2}$，由勾股定理可得R²=（$\frac{a}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²=$\frac{7}{12}$a²，∴S=4πR²=$\frac{7}{3}$a²；
（2）所有棱长都是$\sqrt{2}$的四面体，补成正方体的棱长为1，对角线长为$\sqrt{3}$，∴球的半径为R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴S=4πR²=3π；
（3）球心到底面的距离为1，△ABC中，BC=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2，∴2r=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，∴r=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，由勾股定理可得R²=（$\frac{2}{\sqrt{3}}$）²+1²=$\frac{7}{3}$，∴S=4πR²=$\frac{28}{3}$a²．

点评 本题考查求球表面积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．