Question

19．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+sin（\frac{π}{4}+x）sin（\frac{π}{4}-x）$．
（ I）求函数f（x）对称轴方程和单调递增区间；
（ II）对任意$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$，f（x）-m≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）化简函数，利用正弦函数的性质求函数f（x）对称轴方程和单调递增区间；
（II）对任意$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$，f（x）-m≥0恒成立，f（x）-m≥0恒成立等价于m≤f（x）_min，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（I）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}•（cosx+sinx）\frac{{\sqrt{2}}}{2}•（cosx-sinx）$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}（{cos^2}x-{sin^2}x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x+\frac{π}{6}）$（3分）
由$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}⇒x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}⇒kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
所以对称轴是$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，单调增区间是$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$．（6分）
（II）由$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$得$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，从而$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，（11分）
f（x）-m≥0恒成立等价于m≤f（x）_min，∴$m≤-\frac{1}{2}$．（12分）

点评 本题考查三角函数的化简、考查三角函数的图象与性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．