Question

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦点到右顶点的距离为$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F₁，F₂为椭圆的左，右焦点，过F₂作直线交椭圆C于P，Q两点，求△PQF₁的内切圆半径r的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆方程，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a-c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，即可求得a和c的值，由b²=a²-c²=1，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由当直线PQ斜率存在时，设直线方程为：x=ky+$\sqrt{2}$，代入椭圆方程，由韦达定理可知y₁+y₂，y₁•y₂，根据三角形的面积公式可知S=$\frac{1}{2}$丨F₁+F₂丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨+丨F₁Q丨+丨PQ丨）•r，求得r的表达式，根据基本不等式的关系，即可求得△PQF₁的内切圆半径r的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a-c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
解得：a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，1），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当PQ斜率不存在时，可得：r=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
当PQ斜率存在时，设直线方程为：x=ky+$\sqrt{2}$，
将直线方程代入椭圆方程，整理得：（k²+3）y²+2$\sqrt{2}$ky-0=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{2}k}{{k}^{2}+3}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+3}$，
△PQF₁面积S=$\frac{1}{2}$丨F₁+F₂丨•丨y₁-y₂丨=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+3}$，
由S=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨+丨F₁Q丨+丨PQ丨）•r=2a•r=2$\sqrt{3}$r，
∴$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+3}$=2$\sqrt{3}$r，
∴r=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+3}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$≤$\frac{1}{2}$，
当且仅当$\sqrt{{k}^{2}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$时，即k=±1时，等号成立，
∴内切圆半径的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积公式及基本不等式的关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．