Question

9．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在$x=-\frac{2}{3}$与x=1时都取得极值．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 函数f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析 （I）首先对f（x）求导，f'（-$\frac{2}{3}$）=0与f'（1）=0求出a与b值；
（II）直接利用导函数判断原函数f（x）的单调性即可；

解答 解：（I）函数f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
f'（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{12}{9}$-$\frac{4}{3}a$+b=0，f'（1）=3+2a+b=0
计算得出：a=-$\frac{1}{2}$，b=-2．
（II）f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
当x∈（-∞，-$\frac{2}{3}$），f'（x）＞0，则f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$）上单调递增；
当x∈（-$\frac{2}{3}$，1），f'（x）＜0，则f（x）在（-$\frac{2}{3}$，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞），f'（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）单调递增；
函数f（x）在x=-$\frac{2}{3}$处取得极大值f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{34}{27}$+c；
函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-$\frac{3}{2}$+c．
综上，f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$），（1，+∞）上单调递增，（-$\frac{2}{3}$，1）上单调递减，
极大值为$\frac{34}{27}$+c，极小值为-$\frac{3}{2}$+c．

点评 本题主要考查了导函数零件与极值的关系，以及利用导数判断函数的单调性，属基础题．