Question

14．如图在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=2$\sqrt{2}$，BC=BB₁=4，D、E分别为BC，BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅱ）求直线AB与平面AC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得，四边形CBB₁C₁为正方形，又D、E分别为BC，BB₁的中点，得CE⊥C₁D，再由已知可得AD⊥CE，结合线面垂直的判定得答案；
（Ⅱ）由D是BC的中点，可得B，C到平面AC₁D的距离相等，由（Ⅰ）知，CE⊥平面AC₁D，由射影定理可得C到平面AC₁D的距离，从而得到B到平面AC₁D的距离，而AB=2$\sqrt{2}$．可得直线AB与平面AC₁D所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：由已知可得，四边形CBB₁C₁为正方形，又D、E分别为BC，BB₁的中点，
∴CE⊥C₁D，
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，则AD⊥平面CBB₁C₁，则AD⊥CE．
又C₁D∩AD=D，∴CE⊥平面AC₁D；
（Ⅱ）解：∵D是BC的中点，∴B，C到平面AC₁D的距离相等，
由（Ⅰ）知，CE⊥平面AC₁D，设垂足为M，在Rt△C₁CD中，由射影定理可得$CM=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴B到平面AC₁D的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，而AB=2$\sqrt{2}$．
∴直线AB与平面AC₁D所成角的正弦值为$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了线面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．