Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，两个焦点恰好在圆O：x²+y²=1上，若过椭圆C左焦点F的直线l与圆O的另一个交点为G，线段FG的中点为M，直线MO交椭圆C于A，B两点，且|AB|=$2\sqrt{2}$|FG|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 由题意可得：c=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解出可得：椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．设直线AB的方程为：y=kx（k≠0），由FG⊥AB，F（-1，0），可得直线FG的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），即x+ky+1=0．
圆心O到直线FG的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|FG|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x²，y²，可得|AB|²=4（x²+y²），利用∵|AB|=$2\sqrt{2}$|FG|，解出k即可得出．

解答 解：由题意可得：c=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b²=3．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．设直线AB的方程为：y=kx（k≠0），
∵FG⊥AB，F（-1，0），∴直线FG的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），即x+ky+1=0．
圆心O到直线FG的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴|FG|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，y²=$\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
∴|AB|²=4（x²+y²）=$\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∵|AB|=$2\sqrt{2}$|FG|，∴$\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{8×4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
解得k=±$\root{4}{\frac{3}{5}}$．
∴直线l的方程为$±\root{4}{\frac{3}{5}}$y+x+1=0．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及其圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．