Question

11．如图，已知A，B，C是长轴为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的
一个端点，BC过椭圆中心O，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=O，|BC|=2|AC|
（1）求椭圆E的方程． 
（2）设圆O是以原点为圆心，短轴长为半径的园，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作圆O的两条切线，切点为M，N，若直线MN在x轴，Y轴上的截距分别为m，n，试计算$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是否为定值？如果，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得a，数形结合求得C的坐标，代入椭圆方程求得b，则椭圆方程可求；
（2）设P（x₀，y₀），由M，N是切点，可知P、M、O、N四点共圆．分别写出以PO为直径的圆的方程与圆O的方程，联立可得MN所在直线方程求出直线MN在x，y轴上的截距，结合P在椭圆上可得$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是定值．

解答 解：（1）由已知可得，a=2，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
由已知可得：|OB|=|OC|，又$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，|BC|=|2AC|，
∴C（1，1），把C代入椭圆方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，得${b}^{2}=\frac{4}{3}$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设P（x₀，y₀），由M，N是切点，可知P、M、O、N四点共圆．
∴以PO为直径的圆的方程为：（x-x₀）x+（y-y₀）y=0，即x²+y²-x₀x-y₀y=0，①
又圆O的方程为：${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{3}$，②
联立①②可得MN所在直线方程为：${x}_{0}x+{y}_{0}y=\frac{4}{3}$．
直线MN在x，y轴上的截距分别为：$m=\frac{4}{3{x}_{0}}，n=\frac{4}{3{y}_{0}}$．
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$=$\frac{3{{x}_{0}}^{2}+9{{y}_{0}}^{2}}{16}=\frac{3（{{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}）}{16}$．
又P（x₀，y₀）在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{3{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，即${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=4$．
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$=$\frac{3×4}{16}=\frac{3}{4}$．
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是定值．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，是中档题．