Question

16．已知函数f（x）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，（m∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在实数m使函数f（x）为奇函数？
（3）对于（2）中的函数f（x），若f（t+1）+f（t）≥0，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据单调性的定义证明，步骤：①取值 ②作差 ③化简 ④判号 ⑤下结论；
（2）先用特值法f（0）=0求出a，再检验；
（3）根据函数的奇偶性和单调性得出t+1≥-t，解答即可．

解答 解：（1）定义域为（-∞，+∞），而y=2^x为增函数，所以y=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为减函数，
所以f（x）=）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，为增函数，证明如下：
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$＜0，
所以函数f（x）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为增函数．
（2）假设存在数m，使函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
所以f（0）=0，所以m=1；
（3）结合（1）和（2）可以得，f（t+1）≥f（-t），所以t+1≥-t，
所以t的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，其中熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义及证明方法是解答的关键