Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-x）^{3}，x＜1}\\{（x-1）^{3}，x≥1}\end{array}\right.$，若关于x的不等式f（x²-2x+2）＜f（1-a²x²）的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3}{4}$，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• B． （$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• D． [-$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{4}$）∪（$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$]

Answer 1

分析 函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x＞1时，函数递增，所以不等式f（x²-2x+2）＜f（1-a²x²）可化为：（a²-1）x²+2x-1＞0，分a＜0和a＞0两种情况，可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：由解析式得：函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x＞1时，函数递增，
所以不等式f（x²-2x+2）＜f（1-a²x²）可化为：
|x²-2x+2-1|＜|1-a²x²-1|，
即x²-2x+1＜a²x²，即（a²-1）x²+2x-1＞0，
若原不等式的解集中有且仅有三个整数，
则a＜0时，（$\frac{1}{1-a}$，$\frac{1}{1+a}$）有且仅有三个整数，解得：a∈[-$\frac{3}{4}$，-$\frac{2}{3}$），
a＞0时，（$\frac{1}{1+a}$，$\frac{1}{1-a}$）有且仅有三个整数，解得：a∈（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
综上可得：x∈[-$\frac{3}{4}$，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
故选：A

点评 本题考查了分段函数的应用，函数的对称性，一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，转化思想是中档题