Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使
∠BDC=90°．
（1）若E，F分别为 AB，AC的中点，求证：EF∥平面BDC；
（2）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（3 ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

Answer 1

解：（1）在右图中，因为△ABC中，E、F分别为 AB、AC的中点，．
∴EF∥BC
∵EF平面BDC，BC平面BDC，
∴EF∥平面BDC；
（2）∵左图中，AD是等腰Rt△ABC斜边BC的中线
∴CD⊥AD，在右图中依然成立
又∵右图中，CD⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CD⊥平面ADB
∵CD平面BDC，
∴平面ADB⊥平面BDC；
（3）由（2）知，AD、BD、CD两两垂直
∵BD=1，
∴AD=BD=CD=1
∴三角形ADC的面积S_△ADC= ×AD×CD= ，
同理可得S_△BDC=S_△ABD= 
∵Rt△ADC中，AC= ，
同理可得AB=BC= 
∴△ABC是边长为 的等边三角形，
面积为S_△ABC= = 
由此可得三棱锥D﹣ABC的表面积为：S_△ADC+S_△BDC+S_△ABD+S_△ABC= ．