Question

1．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=8cost\\ y=3sint\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{7}{cosθ-2sinθ}$．
（Ⅰ）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的点，点Q的极坐标为$（4\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，求PQ中点M到曲线C₂上的点的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数t，可得曲线C₁的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设出Q，求出M，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=8cost\\ y=3sint\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{7}{cosθ-2sinθ}$．化为ρcosθ-2ρsinθ=7，它的普通方程为：x-2y-7=0．
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的点，点Q的极坐标为$（4\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，Q的直角坐标为：（-4，4），
设P（8cost，3sint），故M（-2+4cost，2+$\frac{3}{2}sint$），PQ中点M到曲线C₂上的点的距离d=$\frac{\sqrt{5}|4cost-3sint-13|}{5}$=$\frac{\sqrt{5}|5sin（t+β）-13|}{5}$（其中tanβ=$-\frac{4}{3}$），
当sint=$-\frac{3}{5}$，cost=$\frac{4}{5}$时，PQ中点M到曲线C₂上的点的距离最小值为：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．