Question

6．已知数列{a_n}满足：a₁=3，$\sqrt{{a_{n+1}}+1}-\sqrt{{a_n}+1}=1（{n∈{N^+}}）$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿa_n（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）得：（n≥2）${b_{n-1}}+{b_n}={（-1）^n}[{（n+1）^2}-{n^2}]={（-1）^n}（2n+1）$，对n分类讨论，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由$\sqrt{{a_{n+1}}+1}-\sqrt{{a_n}+1}=1$，可知：数列$\left\{{\sqrt{{a_n}+1}}\right\}$是公差为1，首项为2的等差数列，
∴$\sqrt{{a}_{n}+1}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=n²+2n．
（2）由（1）得：b_n=（-1）ⁿ（n²+2n），
∴（n≥2）${b_{n-1}}+{b_n}={（-1）^n}[{（n+1）^2}-{n^2}]={（-1）^n}（2n+1）$，
n为偶数时，T_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-1+b_n）=5+9+…+（2n+1）=$\frac{n（n+3）}{2}$；
n为奇数时，T_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-2+b_n-1）+b_n=5+9+…+（2n-1）-（n+1）²+1=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}-{（n+1）^2}+1=-\frac{{{n^2}+3n+2}}{2}$．
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{{n^2}+3n+2}}{2}，n为奇数\\ \frac{n（n+3）}{2}，n为偶数\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．